Con motivo de las recientes elecciones y el continuo flujo de noticias sobre los posibles pactos que alzarían a unos y otros como presidentes autonómicos o alcaldes, vamos a hacer un pequeño ejercicio matemático para hacernos una idea del poder que puede tener cada partido. Para ello vamos a hacer uso del índice de poder de Banzhaf, introducido por John F. Banzhaf III en 1965.

Empecemos por una breve definición del índice de poder de Banzhaf. El índice de Banzhaf de un participante se define como el número de coaliciones ganadoras diferentes en las que el participante es imprescindible para la victoria, más el número de coaliciones de bloqueo (que impidan la victoria de otra coalición) en las que el participante sea imprescindible para el bloqueo. O dicho de otra forma, el número de coaliciones en las que el participante es imprescindible para que logre su objetivo.

Ahora que ya sabemos a qué nos referimos con el índice de Banzhaf veamos los resultados obtenidos. Hemos calculado dicho índice para los hemiciclos de las distintas autonomías en las que hubo elecciones el pasado 24 de mayo, así como para los ayuntamientos de Madrid, Barcelona y Valencia. Para dicho cálculo asumimos que es necesaria la mayoría absoluta para que una coalición sea ganadora y que los partidos votan en bloque. Además no aplicamos ninguna restricción a los posibles pactos entre partidos. A continuación podéis ver los resultados obtenidos:


Para no complicar y alargar el post, vamos a centrarnos en Madrid, lugar a donde han ido a parar nuestros votos.

En las gráficas anteriores podéis observar cómo en la Comunidad Autónoma de Madrid, el PP posee un mayor índice poder que el resto de partidos. Esto se debe a que el PP únicamente necesita pactar con uno de los otros tres partidos para conseguir la mayoría absoluta, mientras que PSOE, Podemos y Ciudadanos o pactan con el PP o necesitan el apoyo de los otros dos partidos para conseguir dicha mayoría.

En el caso del ayuntamiento vemos que la cosa cambia. En este caso, Ciudadanos no tiene poder alguno ya que su voto no afecta al resultado de los diferentes pactos. Mientras tanto, PP, PSOE y Ahora Madrid tienen el mismo índice de poder.

Pero estos resultados son muy generales, recordad que se permiten todos los pactos entre partidos. Para intentar ser algo más realistas, vamos a eliminar los pactos entre las dos listas más votadas, que serían las listas que de alguna manera podríamos considerar candidatas a la presidencia o la alcaldía:

  • En el caso del ayuntamiento de Madrid, se eliminan de la ecuación cualquier coalición en la que estén presentes PP y Ahora Madrid. Cómo podéis ver en la siguiente gráfica los resultados son algo diferentes. En este supuesto, el PSOE incrementa su poder con respecto al caso anterior, convirtiéndose en el partido que abre la puerta de la victoria tanto al PP como a Ahora Madrid.

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  • En el caso de la comunidad, se eliminan de la ecuación cualquier coalición en las que estén presentes PP y PSOE. En la gráfica siguiente se observa que tanto el PP cómo el PSOE ven reducido su índice de poder, que se traspasa a Podemos y Ciudadanos. Aún así el PP es el partido mejor posicionado, mientras que el PSOE sería el que menos poder tiene de los cuatro.

CCAA_Madrid_restricciones copy

Con esto hemos visto como varían los índices de poder al restringir los pactos que se pueden dar entre partidos. Pero, ¿qué pasaría en la Comunidad de Madrid si el candidato propuesto para la presidencia no consigue el apoyo de la asamblea por mayoría absoluta? ¿Cuál es el poder de los distintos partidos cuando sea suficiente una mayoría simple para la elección del presidente?

Para intentar visualizar este punto, hemos supuesto que ninguna de las dos listas con más votos se abstendría en una votación, y hemos calculado el índice de poder para el resto de posibles abstenciones. Veamos cómo varía el poder en los diferentes casos:

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En esta imagen se puede observar que la abstención por separado de Ciudadanos y Podemos tiene el mismo efecto, reduciendo el poder del PP e incrementando el poder de PSOE y Podemos/Ciudadanos (respectivamente) hasta dejar a los tres partidos con el mismo poder. Por otro lado, si Ciudadanos y Podemos se abstuviesen conjuntamente, cederían todo el poder al PP que obtendría la mayoría simple sin necesidad de pactos.

Y hasta aquí nuestro análisis de hoy. Espero que os haya resultado interesante. Si queréis indagar más sobre índices de poder os recomiendo echar un vistazo al capítulo 12 del libro «Las matemáticas en la vida cotidiana» escrito por Jody L. Doran y Eugenio Hernández.

Agradecimiento a Irene Rodriguez Luján, por guiarme y ayudarme en las matemáticas del poder.

Todos los gráficos han sido realizados con Tableau

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